1. Элементы топологии

1.1 Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества

Напомним, что в точечном евклидовом пространстве En расстояние между точками P(x1, x2,… xn), Q(y1, y2,… yn) вычисляется по формуле

r(P, Q) = ,

если координаты точек заданы относительно ортонормированной системы координат. Мы можем рассматривать это расстояние, как функцию, сопоставляющую двум точкам P и Q число r(P, Q). Функция r обладает следующими свойствами:

1. r(P, Q) = r(Q, P);

2. r(P, Q) + r(Q, R) ³ r(P, R) (неравенство треугольника);

3. r(P, Q) ³ 0, и r(P, Q) = 0 Û P = Q.

Пусть теперь M - произвольное множество, элементы которого будем называть точками. Пусть на M задана функция r, сопоставляющая любым двум точкам P, QÎM число r(P, Q), которое называется расстоянием между этими точками, и такая что выполнены свойства (аксиомы) 1, 2, 3. Тогда пара (M, r) называется метрическим пространством, а функция r - метрикой.

Примеры 1. Пусть V - произвольное подмножество евклидова пространства. Расстояние между двумя точками P, QÎV будем считать таким же, как во всем пространстве. Тогда (V, r) - метрическое пространство. Метрика r называется индуцированной из En.

2. Сфера S2 в трехмерном геометрическом пространстве. Расстояние r1 между P, QÎ S2 определяется как длина кратчайшей кривой по поверхности, соединяющей P и Q. Как известно, этой кривой является дуга большой окружности (у которой радиус равен радиусу сферы).

Мы также можем определить расстояние как в примере 1: r(P, Q) - это длина хорды PQ. Тогда (S2, r1) и (S2, r) - это разные метрические пространства.

3. Определим на плоскости расстояние между точками A(x1, y1), B(x2, y2) по формуле r2(A, B)=|x2 - x1|+|y2 - y1|. Получается, что r2(A, B) равно длине ломаной AMB, изображённой на следующем чертеже.

Упражнение. Самостоятельно про-верьте, что для плоскости с метрикой r2 выполняются все аксиомы метрического пространства.

Диаметром множества V в метрическом пространстве (M, r) называется точная верхняя грань расстояний между точками этого множества:

d(V) = r(P, Q).

Расстоянием между двумя множествами V, W называется точная нижняя грань расстояний между точками этих множеств:

r(V, W) = r(P, Q).

В частности, если одно из множеств состоит из одной точки, то получаем определение расстояния от точки до множества.

Почему в этом определении супрэмум, а не максимум, инфинум, а не минимум? Поясним на примере.

Пример. Пусть V - это открытый (без границы) круг радиуса 1 на плоскости с центром в начале координат, а W = Q (2,0). Тогда d(V) = 2, хотя таких точек, расстояние между которыми равно 2 в V нет. Таким образом, максимум не достигается. Аналогично, r(Q, V) = 1, хотя такой точки PÎV, что r(Q, P) = 1 не существует. Значит, минимум не достигается.

Отметим, что если множества пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Обратное неверно. Например, если W есть прямая x = 1, то r(V, W) = 0, но V IW=Æ.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется ограниченным, если d(V)<¥.

Заметим, что и всё метрическое пространство может быть ограниченным, как например, (S2, r1).

Упражнение. Чему равны диаметры метрических пространств (S2, r1) и (S2, r)?

1.2 Открытые множества. Понятие топологического пространства

Обозначим U (P,e)={QÎM| r(P, Q)<e} - открытый шар в метрическом пространстве (M, r). В частности, на плоскости это будет открытый круг, а на прямой - интервал.

Определение. Пусть V - некоторое множество в метрическом пространстве (M, r). Точка PÎV называется внутренней точкой этого множества, если она входит в V вместе с некоторым содержащим её

открытым шаром, т.е. если существует такое e>0, что U (P,e)ÌV.

Определение. Множество VÌ(M, r) называется открытым, если все его точки являются внутренними для этого множества. Пустое множество считается открытым.

Определение. Множество V в евклидовом пространстве называется связным, если для любых точек P, QÎV существует непрерывная кривая gÌV, соединяющая P и Q.

Это привычное определение связного множества обладает существенным недостатком: мы ещё не знаем, что такое «непрерывная кривая», и даже не знаем, что такое кривая. Тем более это определение не годится для произвольного метрического пространства. Математически более точное определение требует пояснений.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется несвязным, если его можно представить в виде объединения V=V1UV2 двух непересекающихся множеств, каждое из которых открыто в V (в индуцированной топологии).