Задача 1

. Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в тригонометрической форме.

. Вычислите спектральные коэффициенты для сигнала, приведенного на рис. 1. Интервал разложения равен [-?/2; ?/2].

Число спектральных коэффициентов n = 5.

Рис. 1

Исходные данные:

длительность импульса ?=14 мс,

аналитическое выражение для сигнала на рис. 1:

амплитуда сигнала

Решение:

. Любую периодическую функцию u(t)=u(t+nT), удовлетворяющую в пределах периода условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье:

где ;

;

В выражениях (1) и (2) T - период сигнала (здесь Т=?), - частота первой гармоники, n - номер гармоники.

Ряд (1) можно записать в другой форме:

(3)

Отдельные составляющие этой функции называют гармониками. Коэффициенты

ряда определяют по следующим формулам:

- амлитуды гармоник; (4)

-начальные фазы гармоник. (5)

Величина U0 называется постоянной составляющей. Она равна среднему значению функции за период:

(6)

Зависимость амплитуд гармоник от частоты ? или от номера гармоник n называют амплитудным спектром (АС) сигнала. Зависимость начальных фаз гармоник от частоты или от номера гармоник называют фазовым спектром (ФС) сигнала. АС и ФС периодических сигналов - дискретные.

2. Определим частоту первой гармоники. Она равна частоте повторения импульсов:

Определим постоянную составляющую по формуле (6):

По формулам (2) определим коэффициенты an и bn

По формуле (4) определим амплитуды гармоник входного сигнала. Рассчитанные значения для 5-ти гармоник запишем в таблицу 1.

Таблица 1

n012345an,мВ31831066-21391-5032bn,мВ000000Unm,мВ31831066213915032

Теперь по значениям таблицы 1 построим график АС сигнала (рисунок 2).

Рис. 2

Задача 2

. Для сигнала с параметрами:

циклическая частота f0=25

амплитуда Am=mn/2+0.5p=4/2+0.5=2.5 (B)

найти спектральную плотность и амплитудный спектр сигнала.

. Построить временную и спектральную диаграммы сигнала.

Решение:

. Для разложения в спектр непериодического сигнала используется прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье)

(7)

где u(t)- функция, описывающая сигнал.

Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции u(t) является её абсолютная интегрируемость:

Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, гармоническое колебание, заданное при -?<t<?, не отвечает выше приведённому условию.

Рассмотрим заданный сигнал не обращая на то, что такой сигнал не является абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишем в форме (7)

Воспользуемся формулой

Т.к.

То

Подставим исходные данные. Для этого рассчитаем частоту

Тогда выражение для спектральной плотности имеет вид

(В/Гц) (8)

или модуль спектральной плотности

(В/Гц) (9)

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме ?=?0 и ?=-?0, при которых F(?) обращается в бесконечность. Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах ?=?0 и ?=-?0.

3. Построим временную и спектральную диаграммы сигнала. Выражение для сигнала имеет вид

=2.5cost

Временная диаграмма сигнала представлена на рисунке 4.

Рис. 3

Спектральная диаграмма сигнала, рассчитанная по формуле (9), представлена на рисунке 5.

Рис. 4

Задача 3

. Дайте определение автокорреляционной функции (АКФ) сигнала и запишите формулу для её расчета.