Министерство Образования Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Хабаровский Государственный Педагогический Университет

Кафедра математического анализа и информатики

Курсовая работа

“Геометрия чисел”

                                                                       Выполнил:  =PeppeR=

                                                                       Научный руководитель:  доцент кафедры

                                                                                             мат. анализа и информатики

                                                                                                 кандидат  физ.-мат. наук

Хабаровск – 2004

Содержание.

1. Введение.                                                                                  2

2. Постановка задачи.                                                                  3

3. Основная задача геометрии чисел.                                        4

4. Теорема Минковского.                                                            6

5. Доказательство теоремы Минковского.                                7

6. Решётки.                                                                                  10

7. Критические решётки.                                                                   13

8. «Неоднородная задача».                                                        17

9. Список литературы.                                                               18

Введение.

Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому. Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также   упростил   и   развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое направление, которое  Минковский назвал  „геометрией   чисел",   развилось в независимый   раздел   теории   чисел,   имеющий   много   приложений в самых различных вопросах и вместе  с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основная задача геометрии чисел.

Основной   и   типичной   задачей геометрии чисел является сле­дующая задача.

Пусть f(х₁,…,x_n) — функция вещественных аргументов, прини­мающая вещественные значения. Как мал может быть ïf(u₁,…,u_n)ï при подходящем выборе целых чисел u₁,…,u_n? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х₁,…,x_n) является однородной формой; в этом случае совокупность значений u₁ = u₂ = ... = u_n = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для кон­кретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть

f(x₁,x₂) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x2 + a₂₂x₂²         (1)