Федеральное агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)

Факультет прикладной математики и кибернетики

Кафедра высшей математики и математического моделирования

КУРСОВАЯ РАБОТА

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА АВТОРЕГРЕССИИ

Руководитель

док. физ-мат наук, доцент

С.Э. Воробейчиков

Автор работы

А.А. Петров

Томск 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение

. Модели авторегрессии

.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК

.2 Фильтр Калмана

. Моделирование

. Заключение

Список литературы

Приложение

1. Введение

Одной из основных характеристик ценных бумаг является доходность, являющаяся случайной величиной. Существует множество моделей, описывающих доходность ценных бумаг: модель скользящего среднего, авторегрессионная модель, модель авторегрессии - скользящего среднего, авторегрессионная модель условной неоднородности.

В курсовой работе в качестве модели рассматриваю модель авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Для выбранных моделей оцениваю параметры методом МНК и с помощью фильтра Калмана.

2. Модели авторегрессии

Говорят, что последовательность доходностей описывается моделью авторегрессии порядка p, если удовлетворяет следующему уравнению

(1)

где - стандартная нормальная случайная величина, т.е.

Модель авторегрессии 1-го порядка. Рассмотрим уравнение авторегрессии 1-го порядка в виде

, (2)

где , () - неизвестный параметр модели, - мешающий параметр. В стационарном режиме процесс (2) можно записать в виде

,

где - среднее значение наблюдаемого процесса

Для исключения влияния мешающего параметра на оценку на каждом шаге будем вычитать из текущего наблюдения оценку среднего. Для этого просуммируем обе части уравнения (2) и разделим на количество

(3)

Введём обозначения

, ,

Вычитая из (2) (3) получим

(4)

В этом виде отсутствует явная зависимость от мешающего параметра. Чтобы уменьшить влияние погрешности оценки среднего, первые наблюдений будем использовать для оценивания М.

Модель авторегрессии 2-го порядка. Рассмотрим уравнение модели авторегрессии 2-го порядка

где , () - неизвестные параметры модели, а B известно.

2.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК

Для получения оценки МНК параметра для модели авторегрессии 1-го порядка рассмотрим сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений переменной от ожидаемых значений

Необходимое условие минимума приводит к следующей оценке

(5)

Для модели 2-го порядка сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от ожидаемых значений имеет вид

Необходимое условие минимума приводит к следующей системе уравнений

2.2 Фильтр Калмана

Фильтр Калмана также можно использовать для оценки параметра модели.

Рассматривается система линейных разностных уравнений вида

, (6)

, (7)

- n-мерный вектор состояний, z - l-мерный вектор измерений. и - последовательность гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием. Будем считать что они независимы между собой.

Задача состоит в том, чтобы на основе полученных измерений получить оценку

Оценка вычисляется как решение разностного уравнения

, (8)

- матричный коэффициент, - невязка. Чем она меньше, тем ближе оценка к истинному значению. Коэффициент K выбирается таким образом, чтобы оценка была несмещённой с минимальной матрицей ковариаций.

Если ввести ошибку , то эта ошибка будет удовлетворять следующему уравнению:

,

где

- последовательность гауссовских случайных величин со свойствами

Далее введём квадратную матрицу

Введём и как среднее и матрицу ковариации

Получим следующее

Осталось выбрать K таким образом, чтобы минимизировать

Представим правую часть в виде полного квадрата относительно K:

Из последнего равенства получим следующее:

(9)

(10)

- оптимальный коэффициент.

- решение уравнения Риккати. Для упрощения моделирования заменяем стационарным значением. , которая находится из алгебраического уравнения Риккати

(11)

Оценивание параметров регрессии с помощью фильтра Калмана

Так как оцениваем параметр , а он является постоянным, то уравнение для него имеет вид

(12)

Уравнение наблюдения имеет вид

(13)

Тогда сравнивая (6), (7) с (12), (13), получим