Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

По дисциплине: Математическое моделирование

Тема: Синтез линейных систем регулирования

Автор: студент гр. АПМ-08-2 Змановский В.С.

Руководитель проекта: доцент Суслова О.В.

Санкт-Петербург

Оглавление

1. Задание

. Линеаризация математической модели

. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели

. Исследование устойчивости замкнутой системы управления

. Синтез линейных систем регулирования

Заключение

1. Задание

Произвести линеаризацию уравнения объекта управления согласно заданному варианту. Оценить точность линеаризации, построив график ошибки в зависимости от входного сигнала.

На основе полученного линеаризованного уравнения записать выражения для АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ при x>1 и 0<x<1 и построить АФЧХ, АЧХ и ФЧХ для двух указанных.

Определить устойчивость системы управления по критериям Гурвица и Найквиста для двух вариантов объекта управления и построить переходные характеристики.

Произвести параметрический синтез ПИ-регулятора для своего варианта объекта управления. Построить переходной процесс при полученных оптимальных настройках.

. Линеаризация математической модели

В качестве предмета изучения будем использовать некоторый объект, описываемый дифференциальным уравнением 2-го порядка.:

(1).

Исходные данные. В качестве исходных данных служат коэффициенты уравнения (1) , , , ; границы изменения входной переменной и , номинальный режим выбран как 0,5 диапазона измерения.

Вариант №Точность в %2204Y7Y6X2940,55Решение

Подставим в уравнение (1) значение заданных коэффициентов и запишем полученное выражение:

(2).

Это нелинейное уравнение, так как в нем имеется произведение выходной переменной на ее производную (динамическая нелинейность), вторая степень выходной переменной и третья степень входной переменной .

Для того, чтобы можно было пользоваться стандартными методами теории автоматического управления, применительно к данному объекту, необходимо привести уравнение (2) к виду:

(3),

где , , , - некоторые постоянные коэффициенты.

Уравнение (3) - линейное дифференциальное уравнение. Поэтому процесс приведения к такому виду какого-то нелинейного уравнения называют линеаризацией.

Для линеаризации уравнения (2) введем понятие номинального режима: установившегося режима функционирования объекта (производные равны 0), в котором входная и выходная переменная связываются уравнением статики, и каждая имеет какое-то определенное постоянное значение. Относительно этих значений рассматриваются величины входных и выходных переменных во время работы объекта управления. Сами значения при номинальном режиме могут определяться из различных соображений: исходя из требований технологического регламента или просто как 0,5 диапазона измерения входной (выходной) величины и т.п.

Найдем уравнения статического режима для объекта (2).

Приравняем нулю все производные в уравнении (2) и получим уравнение статики объекта:

, или (4).

Уравнение (4) описывает множество возможных установившихся состояний объекта, в том числе и состояние номинального режима. Найдем значения переменных в номинальном режиме.

Диапазон измерения - от 4 до 9, а номинальное значение соответствует 0,5 (т.к. z=0,5), то есть

Из уравнения (4) найдем значение :

Тогда во всех состояниях значения входной и выходной переменных можно записать в виде уравнений (5):

(5).

Линеаризация производится для режимов, имеющих относительно малое отклонение от номинального режима.

Перенесем правую часть уравнения (2) налево и получим

(6).

Обозначим левую часть уравнения (6) через функцию :

(7).

Разложим ее в ряд Тейлора с учетом всех переменных и производных (производные рассматриваются как самостоятельные переменные) и отбросим все слагаемые второго и более высших порядков, в следствие чего получим:

(8),

где - значение при номинальном режиме, , , , - значения производных по переменным при подставленных номинальных значениях, , , , - отклонения переменных от номинального значения.

Найдем частные производные, необходимые для разложения:

,

,

,

.

Таким образом, подставив найденные значения частных производных в уравнение (8) получим: