Содержание

Введение                                                                   

I. Основные понятия                                               

1.Эйлеровы графы.                                                             

2. Кротчайшие пути.                                                         

3. Деревья.                                                                                        

II.Задача коммивояжера.                                               

1.Общие описание.                                                                  

2.Методы решения ЗК.                                                      

   а. Жадный алгоритм.                                                       

   б. Деревянный алгоритм.                                                 

   в. Метод ветвей и границ.                                               

III. Выводы.                                                                          

Литература.

                                             Введение.

ТЕОРИЯ ГРАФОВ - это область дискретной матема­тики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Теория графов находится сейчас в самом расцвете. Обычно её относят к топологии (потому что во многих случаях рассматриваются лишь топологические свойства графов), однако она пересекается со многими разделами теории множеств, комбинаторной математики, алгебры, геометрии, теории матриц, теории игр, математической логики и многих других математических дисциплин. Основной объект теории графов-граф и его обобщения.

Первые задачи теории графов были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок (задача о Кенигсбергских мостах, задача о расстановке ферзей на шахматной доске, задачи о перевозках, задача о кругосветном путешествии и другие). Одним из первых результатов в теории графов явился критерий существования обхода всех ребер графа без повторе­ний, полученный Л. Эйлером при реше­нии задачи о Кенигсбергских мостах. Вот пересказ отрывка из письма Эйлера от 13 марта 1736 году: ” Мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый  мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел лёгкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может“.  Кенигсбергские мосты схематически можно изобразить так.

Существует еще один вид задач, связанных с путешествиями  вдоль графов. Речь идёт о задачах, в которых требуется отыскать путь, проходящий через все вершины, причем не более одного раза через каждую. Цикл, проходящий через каждую вершину один и только один раз, носит название гамильтоновой линии( в честь Уильяма Роуэна Гамильтона, знаменитого ирландского математика прошлого века, который первым начал изучать такие линии). К сожалению, пока еще не найден общий критерий, с помощью которого можно было бы решить, является ли данный граф гамильтоновым, и если да, то найти на нём все гамильтоновы линии. 

  Сформули­рованная в середине 19 в. проблема четырех красок  также выглядит как развле­кательная задача, однако попытки ее решения привели к появлению некоторых  исследований графов, имеющих теоретическое и прикладное значение. Проблема четырех красок формулируется так: ”Можно ли область любой плоской карты раскрасить четырьмя цветами так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета?”. Гипотеза о том, что ответ утвердительный, была сформулирована в середине 19в. В 1890 году было доказано более слабое утверждение, а именно, что любая плоская карта раскрашивается в пять цветов. Сопоставляя любой плоской карте двойственный ей плоский граф, получают эквивалентную формулировку задачи в терминах графов: Верно ли, что хроматическое число любого плоского графа меньше либо равно четырёх? Многочисленные попытки решения задачи оказали влияние на развитие ряда направлений теории графов. В 1976 году анонсировано положительное решение задачи с использованием ЭВМ.

I. Основные понятия теории графов.

1. Граф G(V,E) - комбинаторный объект, состоящий из двух конечных мно­жеств: V - называемого множеством вершин и множества пар элементов из V, т.е. Е  VxV, называемого множеством ребер, если пары неупорядочены, и множеством дуг, если пары упорядочены. В первом случае граф G(V,E) называется неориентированным, во втором ориентированным. Если е = (v₁,v₂).