Введение.
Анализ устойчивости непосредственно связан с определением условий
равновесия. В линейных системах существуют только одно состояние
равновесия. Поэтому зависимые переменные, характеризующие состояние
системы, с течением времени приближаются либо к состоянию покоя, либо
периодического изменения. В нелинейных же системах возможны ситуации, когда
существуют несколько состояний равновесия. Причем достаточно малого
возмущения, чтобы начался переходный процесс, который приведет систему к
новому состоянию равновесия, существенно отличающемуся от первоначального.
Следовательно, при рассмотрении подобных систем необходимо проанализировать
особенности их поведения в непосредственных окрестностях всех возможных
состояний равновесия.
Если достаточно малое (независимо от того, какими причинами оно
вызвано) возмущение приводит к существенному отклонению режима от исходного
(установившегося) состояния или от невозмущенного движения, то говорят о
нестабильности или неустойчивости положения равновесия или невозмущенного
движения. Если же после прекращения действия возмущения система не
отклоняется существенно от своего исходного состояния, то такой режим
называют устойчивым.
Таким образом, в нелинейной теории недостаточно только получить весь спектр возможных решений. Необходимо еще провести исследование всех решений на устойчивость.
Исследованию вопросов устойчивости посвящено множество работ. Широко
известны первые работы в этой области Лагранжа, Рауса, Жуковского и
Пуанкаре. Значительным вкладом в теорию устойчивости явилось исследование
выдающегося русского математика А. М. Ляпунова « Общая задача об
устойчивости движения» (1892), которая еще и сегодня представляет собой
основу всех исследований в этой области. А. М. Ляпунов дал строгое
математическое определение устойчивости. Рассматривая нелинейные задачи
небесной механики, А. М. Ляпунов доказал несколько теорем, решающих в общем
виде задачу устойчивости. Он показал, что при малых отклонениях от
состояния равновесия правильное суждение об устойчивости можно получить,
используя линеаризацию исходного нелинейного уравнения.
Прежде чем перейти к методам исследования устойчивости или неустойчивости движения введем определение устойчивости.
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости.
Поведение широкого класса физических систем часто описывается дифференциальными уравнениями n–го порядка, которое всегда может быть преобразовано в эквивалентную систему n дифференциальных уравнений 1-го порядка в виде:
Здесь y?(t) являются какими – либо зависимыми переменными, связанными с «движением» (в свете механики), т. е. С временным (динамическим) протеканием процесса; например, в электрических системах это могут быть напряжения, токи, заряды и т. п. Точка сверху означает производную от этих величин по времени: формула
Частному решению f?(t) одного из системы уравнений (1) соответствует движение системы, которое назовем невозмущенным движением в противоположность другому движению, которое обозначим как возмущенное движение y?(t) . Очевидно, что f?(t) должно удовлетворять следующей системе уравнений:
Различие значений возмущенного y?(t) и невозмущенного f?(t) движений в каждый момент времени t назовем возмущением x?(t):
Затем при следующих выражениях:
Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение называется устойчивым, если для всякого небольшого положительного числа ?>0 может быть найдено другое такое число ?(?), чтобы для всех возмущенных движений y?(t) для начального момента времени t = t0 выполнялось неравенство (4), а во все последующие моменты времени t > t0 было справедливо неравенство (5). В противном случае невозмущенное движение неустойчиво. Иными словами невозмущенное движение устойчиво, если, будучи возмущено в начальный момент времени оно в дальнейшем целиком проходит в непосредственной окрестности своего первоначального состояния и не покидает эту соседнюю область.
Из данного определения устойчивости движения получается устойчивость положения равновесия как частный случай, когда все f?(t)=С?, т.е. являются постоянными величинами.
Более жестким, чем только что данное определение, является определение
асимптотической устойчивости. А именно, невозмущенное движение называется
асимптотически устойчивым, если оно, во-первых, устойчиво в смысле
вышеуказанного определения (4), (5), и, во-вторых, если можно выбрать число
? такое, чтобы для всех возмущенных движений, которые удовлетворяют
неравенству (4) дополнительно выполнялось условие (6). Другими словами это
означает, что при возмущенном в начальный момент времени t=t0
асимптотически устойчивом движении возмущения не только остаются внутри
окрестности первоначального состояния ?(?), как при нормальной
устойчивости, но и дополнительно с течением времени затухают до нуля.
Итак, возмущенное движение устойчиво, если возмущенное в начальный момент времени движение проходит в его непосредственной окрестности и не покидает определенную соседнюю область. Оно асимптотически устойчиво, если возмущенное движение асимптотически стремится к невозмущенному.
Предметы
Актуальные Рефераты по математике