Золотое сечение  в природе и искусстве

Автор: Седлинский Игорь Николаевич

Гимназия № 1  г. Апатиты, Мурманская обл.

Четвертая региональная  научная и инженерная выставка «Будущее Севера»

Мурманск

2002 год

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое- деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

И. Кеплер

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Самым известным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные разложения которых бесконечны и непериодичны, следует считать число p – отношение длины окружности к ее диаметру. Иррациональное число j («фи») известно не столь широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющее почти такой же универсальный характер, как и число p. Сходство между числами p и j  этим не исчерпывается: подобно p, j обладает свойством возникать в самых неожиданных местах .

Что такое золотая пропорция.

   Пусть длина некоторого отрезка равна А (рис.1) , длина его большей части равна Х, тогда (А – Х) – длина меньшей части отрезка. Пусть отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей. Составим отношение согласно допущению: .                                                                                      (1)

Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

   От пропорции (1) перейдем к равенству A(A-X)=X2 . Получаем квадратное уравнение . Длина отрезка X выражается положительным числом, поэтому из двух корней выбираем положительный: .

   Число  обозначается буквой j или буквой t («тау») в серьезной математике. Не менее важное значение имеет число , обратное j, которое обозначается Ф. Число j - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы.

=1/j

   Обратим внимание на удивительную инвариантность золотой пропорции:

Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее «душу». Следующие соотношения еще раз демонстрируют инвариантность золотой пропорции:

-2-

   и т.д.

 Подобно числу p ,Ф можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер Ф :

Ф =lim 1+

Ф = lim

   С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), мы обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу j: чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение.        

 В дальнейшем увидим, что числа Фибоначчи часто появляются в самых неожиданных местах, при этом неотступно сопровождая золотую пропорцию.

Золотые фигуры.

   В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2. Если с середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали  полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией. Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике 1:2: . Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе (рис.2), и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией.