Если эти «минимаксы» равны, то их общее значение называется значением игры, а стратегии, на которых достигаются внешние экстремумы, - оптимальными стратегиями игроков. Если «минимаксы» различны, то игрокам следует применять смешанные стратегии, т. е. выбирать свои первоначальные («чистые») стратегии случайным образом с определёнными вероятностями. В этом случае значение функции выигрыша становится случайной величиной, а её математическое ожидание принимается за выигрыш игрока I (соответственно, за проигрыш II). В играх против природы оптимальную смешанную стратегию природы можно принимать как наименее благоприятное априорное распределение вероятностей её состояний. В антагонистических играх игроки, используя свои оптимальные стратегии, ожидают получения (например, в среднем, если игра повторяется многократно) вполне определённых выигрышей. На этом основан рекуррентный подход к динамическим играм в тех случаях, когда они сводятся к последовательностям антагонистических игр, решения которых можно найти непосредственно (например, если эти антагонистические игры являются матричными). Антагонистические игры составляют класс игр, в которых принципиальные основы поведения игроков достаточно ясны. Поэтому всякий анализ более общих игр при помощи антагонистических игр полезен для теории. Пример такого анализа даёт классическая кооперативная теория игр, изучающая общие бескоалиционные игры через системы Антагонистические игры каждой из коалиций игроков против коалиции, состоящей из всех остальных игроков.

Игра с нулевой суммой (zero-sum game). Состязание, в котором проигрыш одного игрока равнозначен выигрышу другого. Игры можно разделить на две категории: с нулевой и с ненулевой суммой. Если сумма выигрышей всех игроков остается постоянной при любых вариантах исхода игры, ее относят к категории игр с постоянной суммой. Но поскольку математически выплаты могут быть смещены по шкале, удобнее и нормальнее называть их играми с нулевой суммой. В игре с нулевой суммой при любом варианте ее исхода выигрыш победителя (победителей) всегда равен убытку проигравшего (проигравших). Большинство игр в обычном смысле слова, без избирательного вмешательства извне, являются именно такими играми. К ним принадлежат, в частности, шахматы и футбол (даже если какая-то посторонняя организация присуждает за победу установленную награду). Однако футбольная игра, в которой игрокам платят за то, чтобы они сыграли вничью, или игра в слова (в которой игроки получают очки, составляя слова из случайных разрозненных букв), где награда дается за наибольшую сумму набранных очков, представляют собой примеры игр с нулевой суммой. Такое определение предпочтительнее чем "с положительным результатом" или "с отрицательным результатом". Несмотря на широкое употребление двух последних определений, они обычно создают путаницу, а иногда и оказываются неверными, т.к. не дают точного определения тому, с чем сравнивать положительный результат. В 1944 г. Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн выдвинули теорию, согласно которой во всех играх с нулевой суммой и двумя участниками существует особое равновесие, когда каждый участник выбирает стратегию, которая сводит до минимума его потери при любой возможной стратегии противника (см. также: "Минимакс"; "максимин"). Это элегантное математическое построение имеет ограниченное практическое значение, хотя и свидетельствует о существовании оптимальной стратегии игры в шахматы. К счастью, эта стратегия до сих пор не найдена. Игры с нулевой суммой имеют в политике менее формальное значение. Если в игре участвуют два партнера, объединение между ними не возможно; при большем количестве игроков возникают широкие, часто безграничные возможности создания временных коалиций одной части игроков против другой. Поэтому игры с образованием коалиций имеют нулевую сумму. Некоторые авторы причисляют к этой категории и другие политологические игры, например, гонку вооружений или промышленный конфликт. Это неизменно приводит к мрачным прогнозам, поскольку в данных случаях исключается длительное взаимодействие. Игры с ненулевой суммой дают игрокам возможность взаимодействия для получения оптимального результата. Это остается в силе независимо от того, подразумевает игра взаимодействие или нет. Даже в игре без взаимодействия, например в "дилемме заключенных" (prisoners dilemma), игроки имеют возможность размышлять о ходе мыслей противника. В повторяющихся играх без взаимодействия игроки могут координировать свои действия на основе равновесия взаимодействия (более высокого по уровню). Большинство политологических игр, кроме игр с образованием коалиций, наверное, лучше всего рассматривать как игры с ненулевой суммой".