Читинский Государственный Университет

Энергетический институт

Факультет экономики и информатики

Кафедра прикладной информатики и математики

Реферат

по дисциплине: Численные методы

на тему: Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

Выполнила: ст. гр. ПИ-07-1

Злова В.В.

Чита, 2009

Содержание

Введение

1. Метод Ньютона

1.1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона

1.2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона

1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона

2. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

2.1 Метод итераций

2.1.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода итераций

2.2 Метод Ньютона

2.2.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода Ньютона

2.3 Метод спуска

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) - это итерационный численный метод нахождения корня заданной нелинейной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных.

Что же касается систем нелинейных алгебраических уравнений, то итерационные методы решения данных систем приобретают особую актуальность, в связи с тем, что к ним в отличие от систем линейных уравнений не возможно применить прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно.

1. Метод Ньютона

.1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Этот метод применяется, если уравнение f(x) = 0 имеет корень x Î [a;b], и выполняются условия:

) функция y=f(x) определена и непрерывна при xÎ(- ¥; + ¥)

)f(a)?f(b)<0 (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b]);

)производные f ¢(x) и f ²(x) сохраняют знак на отрезке [a;b] (т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a;b], сохраняя при этом направление выпуклости).

) f ¢(x) ¹ 0 при xÎ[a;b]

Основная идея метода заключается в следующем: на отрезке [a;b] выбирается такое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и f ²(x0), т. е. выполняется условие f(x0)?f ²(x)>0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x0, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x0 сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Пусть нам дана некоторая функция f(x) = 0 на отрезке [a,b]. Возможно 4 случая:

- f(a)-f(b) < 0; f ¢(x) > 0; f ²(x) > 0

f(a)-f(b) < 0; f ¢(x) > 0; f ²(x) < 0

f(a)-f(b) > 0; f ¢(x) < 0; f ²(x) > 0

- f(a)-f(b) >0; f ¢(x) < 0; f ²(x) < 0

Рис. 1

Рассмотрим метод Ньютона на первом случае.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a;b], и имеющая f ¢(x) > 0 и f ²(x) > 0. Уравнение касательной имеет вид: y-y0= f ¢(x0)?(x-x0). В качестве точки x0 выбираем точку B(b; f(b)). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x1. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x1, получаем точку b1. Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке b1, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x2. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x2, получаем точку b2.

Первое приближение корня определяется по формуле:

.

Второе приближение корня определяется по формуле:

.

Таким образом, i-ое приближение корны определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e - до выполнения неравенства | xi-xi-1| < e.

1.2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона

определяем интервал (если он не задан), которому будет принадлежать корень уравнения. Сужение интервала можно производить методом половинного деления.