Содержание

Введение

Глава I. Понятие множества

Глава II. Операции над множествами

Глава III. Соответствия между множествами

Глава IV. Счетные множества

Глава V. Числовые множества

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Теория множеств - основа построения математики. Путь к понятию множество проходил через развитие представлений о числе, более глубокое понимание понятия бесконечности. Создатели теории множеств - чешский математик С.Больцано и немецкий ученый Г.Кантор не только разработали новую теорию, но и определили ее место как основополагающей в системе математических знаний.

Множество - понятие неопределяемое, оно не может быть введено через другие понятия.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных общим признаком и рассматриваемых как одно целое. Этот общий признак называется характеристическим.

Теорию множеств Кантора считают наивной, потому что ее исходные положения основываются не на строгих определениях и аксиомах, а лишь на пояснениях. Вместе с тем, на практике она используется активно.

Элементы множества могут иметь произвольную природу, не обязательно числовую. Например:

множество людей, гуляющих в парке;

множество капель дождя;

множество массивов, используемых в программе для ЭВМ;

множество натуральных чисел на отрезке [-1;4].

Множества обозначаются обычно заглавными латинскими буквами: A, B, C - и так далее, а их элементы - строчными: a, b, c, ... .

Глава I. Понятие множества

Множество может быть задано через перечисление его элементов. Например, запись

означает, что множество А состоит из элементов .

Во многих задачах выделяют некоторое свойство F элементов x множества X такое, что каждый элемент либо обладает этим свойством, либо нет. Приняты обозначения:

или .

Например, запись

определяет множество таких значений x, что .

Принадлежность элемента а множеству А задается обозначением

.

Отрицание этого факта обозначается следующим образом:

.

Вводится в рассмотрение также ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО, то есть не содержащее элементов. Оно обозначается .

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества B и, обратно, каждый элемент множества В является элементом множества А. Принято обозначение

А = В.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. В таком случае записывают:

А Í В.

Если А Í В, но А ¹ В, то А называют собственным подмножеством множества В и обозначают

А Ì В.

Например, пусть ; и . В этом случае А Ì В и является его собственным подмножеством. Кроме того, А Ì C. Однако В не принадлежит С. Это записывается в виде:

.

Очевидно, что, если А Í В и B Í A, то A=B.

Множества делятся на КОНЕЧНЫЕ и БЕСКОНЕЧНЫЕ в зависимости от того, является ли число элементов, входящих в их состав, конечным или же бесконечным. Например, множество участников соревнования конечно, а множество точек, лежащих в круге, бесконечно.

Во многих математических науках чаще всего изучаются ЧИСЛОВЫЕ множества, элементы которых - числа.

Глава II. Операции над множествами

Введем операции над множествами и установим некоторую аналогию с операциями над другими математическими объектами, например, высказываниями.

Операции над множествами и их свойства во многом аналогичны алгебре высказываний. Это, как отмечалось, отражает единство математической науки и, благодаря использованию метода математического моделирования, позволяет находить ее связь с различными областями знаний.

Рис. 1. Объединение множеств .

ОБЪЕДИНЕНИЕМ множеств A и B называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Схематично эта операция изображена на рис. 1.

Она удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам:

Очевидны соотношения:

Множество E называется УНИВЕРСАЛЬНЫМ для некоторой системы множеств, если каждое из них принадлежит этому множеству, то есть является его подмножеством.

Можно считать поэтому, что

ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ множеств A и B называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат и A, и B одновременно.

Схематично операция пересечения множеств представима в виде (рис. 2).

Для этой операции также справедливы коммутативный и ассоциативный законы:

;

Множества A и B называются НЕПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ, если